XXXVIII Olimpíada Internacional de Matemática.

Prueba de selección

1. ¿Cuántos números reales x, 0 < x < 1997, verifican que x2-4x es un número entero?

2. Sea ABC un triángulo isósceles con AC=BC. Sea O el centro de la circunferncia circunscrita al triángulo e I el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Si D es el punto del lado BC tal que OD es perpendicular a BI, demostrar que ID es paralelo a AC.

3. Hallar todas las funciones f: IR -> IR tales que

f(x.f(x) + f(y))=(f(x))2 + y

para todos los valores reales de x e y.

4. Determinar todos los enteros positivos n tales que n no es un cuadrado perfecto y n2 es múltiplo de ( raiz de n )^3.

5. Sea ABCDE un pentágono regular y X un punto interior tal que <AEX = 48o y <BCX = 42o. Hallar <AXC.

( <ABC es el ángulo ABC )

6. Hay n autos, numerados de 1 a n y una hilera de n lugares para estacionar, numerados de 1 a n. Cada auto i tiene su lugar preferido a1; cuando quiere estacionar se dirige a dicho lugar, si está libre estaciona y si está ocupado avanza hasta encontrar el primer lugar libre y estacionar allí. Si no encuentra lugar de este modo, se va y no regresa más. Determinar cuántas sucesiones de lugares preferidos a1, a2, ..., an hay tales que todos logran estacionar.

Aclarción: Autos distintos pueden tener el mismo lugar preferido.

 


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