Primer día
Mar del Plata, Argentina - 24 de julio de 1997

1

En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como los del tablero de ajedrez).

Para cada par de enteros positivos m y n, se considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, están sobre los lados de los cuadrados.

Sean S1 el área total de la región negra del triángulo y S2 el área total de su región blanca. Sea

f(m,n) = | S1 - S2 |.

(a) Calcular f(m,n) para todos los enteros positivos m y n que son, o bien ambos pares, o bien ambos impares.

(b) Probar que f(m,n) =< 1/2 max{m,n} para todo m y n.

(c) Demostrar que no existe ninguna constante C tal que f(m,n) < C para todo m y n.

2

El ángulo A es el menor de los ángulos del triángulo ABC.

Los puntos B y C dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco BC que no contiene a A.

Las mediatrices de AB y AC cortan a la recta AU en V y W, respectivamente. Las rectas BV y CW se cortan en T.

Demostrar que

AU = TB + TC.

3

Sean x1, x2, ... , xn números reales que verifican las condiciones:

|x1 + x2 + ... + xn | = 1

y

|x_1| <= (n+1)/2 para i = 1, 2, ... , n.

Demostrar que existe una reordenación (o permutación)   y1, y2, ... , yn  de   x1, x2, ... , xn  tal que

| y_1 + 2 y_2 + ... + n y_n | <= (n+1)/2.

 

 

Segundo día
Mar del Plata, Argentina - 25 de julio de 1997

4

Una matriz n x n (es decir, un tablero cuadrado de n filas y n columnas) se rellena con números del conjunto S={1, 2, ... , 2n - 1}, Tal tablero se llama matriz de plata si, para cada i = 1, ... , n, la i-ésima fila y la i-ésima columna juntas contienen todos los números del conjunto S. Demostrar que:

(a) No existe ninguna matriz de plata para n = 1997;

(b) Existen matrices de plata para infinitos valores de n.

5

Determinar todas las parejas (a,b) de enteros a =< 1, b =< 1 que satisfacen la ecuación

a(b2) = ba.

6

Para cada entero positivo n , sea f(n) el número de formas en que se puede representar a n como suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos.

Las representaciones que difieren únicamente en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo f(4)=4, porque 4 puede ser representado en las cuatro siguientes formas:

4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.

Probar que, para todo entero n =< 3:

2n2/4 < f(2n) < 2n2/2.


Cada problema vale 7 puntos.
Tiempo: 4 1/2 horas.

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