37th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
Prueba de Selección

Primer Día - 23 de mayo de 1996

1. En un reloj de agujas se traza la recta que pasa por los puntos 6 y 12. Esta recta es un "eje de simetría horaria", es decir: En cada instante del día, si imaginamos las agujas en la posición simétrica respecto de dicha recta, tendremos exactamente la posición correspondiente a otro instante del día.

  1. Demostrar que la recta que pasa por los puntos 6 y 12 es un eje de simetría horaria.
  2. Hallar todas las rectas que contienen al centro del reloj y son eje de simetría horaria.

2. Con n3 cubos iguales, perforados a lo largo de una diagonal, se forma un collar, pasando un hilo por las diagonales, de modo que cada cubo se toque con el siguiente en un vértice y el último cubo se toque con el primero en un vértice. Decidir para qué valores de n el collar se puede guardar en una caja de n x n x n, sin romper el hilo.

3. Hallar los números reales positivos x, y, sabiendo que

(x+y)/2 ; (x.y)^½ ; ((x^2 + y^2)/2)^½ ; (2xy)/(x+y)


son cuatro números enteros que suman 66.

Segundo Día - 24 de mayo de 1996

4. Sean n y r enteros positivos tales que n es mayor o igual que 2 y r no es múltiplo de n, y sea d el máximo común divisor entre n y r.

r/n - [r/n] + 2r/n - [2r/n] + 3r/n - [3r/n] +...+ ((n-1).r)/n - [ ((n-1).r)/n ] = (n-d)/2

ACLARACIÓN: Los corchetes indican parte entera, por ejemplo,

[1/2]=0 ; [7/3]=2 ; etc.

5. Sea ABC un triángulo tal que

^A = 180°/7 ; ^B = 360°/7 ; ^C = 720°/7

Sean D, E, F los puntos medios de los lados BC, AC, AB respectivamente. Sean P, Q, R los pies de las alturas trazadas desde A, B, C respectivamente Demostrar que los puntos D, E, F, P, Q, R (en algun orden) son 6 de los vértices de un heptágono regular.

6. Un tablero de 1 x n tiene sus n casillas numeradas en azul de 1 a n. Hay n fichas con los números 1, 2, ..., n escritos en rojo (un número en cada ficha). De cuántas maneras se pueden distribuir las n fichas en el tablero (una ficha en cada casilla) de modo que haya exactamente dos casillas en las que el número rojo sea mayor o igual que el azul?

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

duty free alcohol rules duty free cigarette usa buy duty free cuban cigars order cosmetics online duty free perfumes duty free tobacco canada
duty free alcohol airport duty free cigarettes rules buy cigars duty free where to buy cosmetics wholesale duty free perfumes online buy duty free tobacco uk