XXXVI Olimpíada Internacional de Matemática.

Toronto, Canadá. 1995

1. Sean A, B, C y D cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Las circunferencias de diámetros AC y BD se cortan en los puntos X e Y. La recta XY corta a BC en el punto Z.
Sea P un punto de la recta XY, distinto de Z. La recta CP corta a la circunferencia de diámetro AC en los puntos C y M, y la recta BP corta a la circunferencia de diámetro BD en los puntos B y N.
Demuestre que las rectas AM,DN y XY son concurrentes.

2. Sean a,b y c números reales positivos tales que a.b.c=1. Demuestre que

1/(a^3 (b+c)) + 1/(b^3 (a+c)) + 1/(c^3 (a+b)) >= 3/2

3. Determine todos los enteros n>3 para los cuales existen n puntos A1,A2, ... ,An en el plano, y números reales r1,r2,...,rn que cumplan las condiciones siguientes:

  1. Entre los puntos A1,A2, ... ,An no hay tres que sean colineales.
  2. Para cada terna i, j, k (1<= i < j < k <= n) el triángulo AiAjAk tiene área igual a ri+rj+rk.

4. Encuentre el valor máximo de X0 para el cual existe una sucesión de números reales positivos X0,X1, ... ,X1995 que cumple las condiciones:

  1. X0=X1995
  2. X_i-1 + 2/(X_i-1) = 2.X_i + 1/X_i para 1 <= i <= 1995.

5. Sea ABCDEF un hexágono convexo, tal que:

AB = BC = CD
DE = EF = FA

BCD = EFA = 60o.

Sean G y H dos puntos del interior del hexágono tales que AGB=DHE=120o. Demuestre que

AG + GB + GH + DH + HE >= CF.

6. Sea p un número primo impar. Encuentre el número de subconjuntos A del conjunto {1,2,... ,2.p} tales que

  1. el número de elementos de A es p.
  2. la suma de todos los elementos de A es divisible por p.

 


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