21° Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

3  y 4 de agosto de 2006

 

Primer día

1. Se dispone de un tablero de  (dividido en casillas de 1´1) y de un rey. En cada movida el rey se desplaza una casilla, y tiene dos clases de movimientos: de clase I si se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina horizontal o vertical; de clase II si se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina diagonal (con un solo vértice en común). Además es obligatorio que las movidas consecutivas sean siempre de distinta clase (se deben alternar una movida de cada clase). Hallar todos los enteros  para los cuales es posible elegir una casilla inicial y una secuencia de movidas tales que el rey visite exactamente una vez cada casilla del tablero (se considera que la casilla inicial fue visitada por el rey al iniciar la primera movida).

 2. Sea ABC un triángulo tal que . Sea D en el lado BC tal que y sea E en la prolongación del lado BA (A está entre B y E) tal que . La circunferencia que pasa por B, E y D corta al lado AC en P, y la recta BP corta a la circunferencia que pasa por A, B y C en Q ( ).

Demostrar que .

  3. Sean a, b, c, d, e, f números reales tales que

   y   .

Demostrar que  

                                             .

Segundo día 

4. Hallar todos los enteros x tales que  es el cuadrado de un número racional.

 

5. Se elige un entero positivo y a partir de éste se construye una lista de números enteros en la que cada número, a partir del segundo, se obtiene efectuando la resta del número anterior menos el número anterior pero escrito de derecha a izquierda (y con el mismo signo que el número anterior). Por ejemplo, si el primer número de la lista es 3570, el segundo es 2817, pues , el tercero es , pues , el cuarto es , pues , etc.

Hallar el menor entero positivo que se puede elegir inicialmente para que sea posible prolongar la lista indefinidamente sin que nunca se haga idénticamente 0.

 

6. Un polígono regular de n lados se divide en triángulos mediante  diagonales que no se cortan en el interior del polígono. Determinar, para cada n, el máximo número de triángulos no congruentes que puede tener la división.

 


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