16° Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

23 y 24 de agosto de 2001

Primer día

1

Se tiene un tablero de 21´ 21 y una abundante cantidad de fichas. En la primera jugada se colocan 20 fichas, todas ellas en casillas diferentes. Luego, en cada jugada, se eligen una fila y una columna y se agrega una ficha a cada casilla de la fila elegida y una ficha a cada casilla de la columna elegida (la casilla que está en la intersección de la fila y la columna elegidas recibe dos fichas).

Decidir si es posible que al cabo de una serie de jugadas todas las casillas tengan el mismo número de fichas. (Si la respuesta es afirmativa, describir las jugadas; si es negativa, explicar el porqué.)

2

Las circunferencias G₁ y G₂ se intersectan en dos puntos, A y B. Se traza por B una recta que intersecta a G₁ en C y a G₂ en D. La recta tangente a G₁ que pasa por C corta a la recta tangente a G₂ que pasa por D en E. La recta simétrica a la recta AE, con respecto a la recta AC, corta a G₁ en F (además de en A). Demostrar que BF es tangente a G₂.

Nota: Considerar sólo el caso en que C no pertenece al interior de G₂ y D no pertenece al interior de G₁.

3

Un número natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores positivos propios. Por ejemplo, 6 es perfecto pues sus divisores positivos propios son 1, 2 y 3, y 6=1+2+3; 28 es perfecto pues sus divisores positivos propios son 1, 2, 4, 7 y 14, y 28=1+2+4+7+14.

Demostrar que si n > 6 es un número perfecto divisible por 3, entonces n es divisible por 9.

Segundo día

4

Sea n un entero positivo. Demostrar que la cantidad de pares ordenados de números enteros (x,y) que satisfacen la ecuación

x² - xy + y² = n

es un número entero múltiplo de 6. (Dicha cantidad puede ser 0, que es múltiplo de 6, pero hay que demostrar que no puede ser infinita.)

5

Dado un triángulo de lados a, b, c tal que el baricentro del triángulo pertenece a la circunferencia inscripta en el triángulo, demostrar que

5 (a² + b² + c²) = 6 (ab + bc + ca).

6

Demostrar que para cada número natural n hay una potencia de 2 cuya expresión decimal tiene entre sus últimos n dígitos (de la derecha) más de 2/3 n - 1 dígitos que son iguales a 0.

ACLARACIÓN: La expresión decimal de un número es su escritura usual en base 10. Por ejemplo, la expresión decimal de 2⁷ es 128.

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