XV Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

10 y 11 de agosto de 2000

1

Pablo debe elegir nueve números enteros positivos distintos y colocarlos uno en cada casilla de un tablero de 3x3 de manera tal que si dos números están en casillas vecinas entonces uno de ellos es divisor del otro. Determinar el mínimo valor posible del mayor de los nueve números que puede elegir Pablo.

ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.

2

Sean ABC un triángulo, O su circuncentro, P el punto medio de AO y Q el punto medio de BC. Si OPQ = a., CBA = 4a, ACB = 6a, determinar el valor de a.

3

Determinar el menor número natural n tal que la suma de los cuadrados de los divisores positivos de n (incluidos 1 y n) es igual a (n+3)².

4

Sea S un conjunto finito de puntos de una recta con la siguiente propiedad: si P y Q son dos puntos de S, entonces hay un punto R en S tal que o bien R es el punto medio de PQ, o bien Q es el punto medio de PR, o bien P es el punto medio de QR.

Determinar el máximo número de puntos que puede tener el conjunto S.

5

Sean A, P, X tres puntos del plano tales que 45º < APX < 90º. Construir con regla y compás un cuadrado ABCD de modo que P pertenezca al lado BC y la recta PX intersecte al lado CD en el punto Q tal que QAP = PAB.

6

Sea p > 2 un número primo fijo. Dos jugadores A y B escriben, por turnos, una sucesión de números enteros de acuerdo con las siguientes reglas: A elige un número a₁ y lo escribe, luego B elige un número a₂ y lo escribe; a continuación, A escribe el número a₃ = a_l + a₂; luego B escribe el número a₄ = a₂ - a₃, y así siguiendo, cada jugador en su turno escribe el número igual a la suma de los últimos dos números escritos, es decir, a_{n + 1} = a_{n - 1} + a_n.

El juego termina en el paso j, luego de que un jugador escribió a_j, si existe un índice i, con 2 < i < j, tal que a_i - a_j, es múltiplo de p y además a_{i - 1} - a_j-1 es también múltiplo de p. Gana el jugador que escribió el último númer.

Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.

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