Primer día

1. Sea r ³ 1 un número real que cumple la siguiente propiedad:

Para cada pareja de númoers enteros positvos m y n, con n múltiplo de m se tiene que [nr] es múltiplo de [mr].

Probar que r es un número entero.
Nota: Si x es un número real, denotamos por [x] el mayor entero menor o igual que x.

2. Con el centro en el incentro I de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segemtno CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos FRT, DPU y EQS tienen un único punto común.

3. Sean n £ 2 un número entero y D_n el conjunto de puntos (x, y) del plano cuyas coordenadas son números enteros con

-n £ x £ n   y   -n £ y £ n.

1. Se dispone de 3 colores; cada uno de los puntos de D_n se colorea con uno de ellos. Demostrar que sin importar cómo se haya hecho esta coloración, siempre hay dos puntos de D_n del mismo color tales que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto de D_n.
2. Encontrar una forma de colorear los puntos de D_n utilizando 4 colores de manera que si una recta contiene exactamente dos puntos de D_n, entonces esos dos puntos tienen colores distintos.

4. Sea n un entero positivo. Consideremos la suma x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n, donde los valores que pueden tomar las variables x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., y_n son únicamente 0 y 1. Sea I(n) el número de 2n-adas (x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., y_n) para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea P(n) el número de 2n-adas (x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., y_n) para las cuales la suma toma valor par. Probar que

5. En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscipta al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.
Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S la intersección de HR con OP.
Demostrar que AHSO es un paralelogramo.

6. Sea P = {P₁, P₂, ..., P₁₉₉₇} un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo P₁ el centro del círculo. Para cada k = 1, ..., 1997 sea x_k la distancia de P_k al punto de P más próximo a P_k y distinto de P_k. Demostrar que

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