Primer día

1. En una circunferencia hay n puntos marcados. A cada punto se le asigna un número entero de 1 a n, sin repeticiones, luego se restan los números asignados a puntos vecinos (el mayor menos el menor) y se suman las n diferencias así obtenidas.

¿Cuál es el menor valor que se puede tener como resultado final de este procedimiento?

2. Dados un ángulo PAQ, un punto exterior L y una longitud d, trazar una recta por L que corte a los lados del ángulo en B y C , de modo que AB+BC+CA=d. Indicar los pasos de la construcción.

3. Sean n, x, y enteros positivos tales que n es libre de cuadrados y además x e y son coprimos. Demostrar que (x+y)³ no divide a xⁿ+yⁿ.

Aclaración: Decimos que n es libre de cuadrados si n es producto de primos distintos. Por ejemplo, 105 es libre de cuadrados pues 105=3.5.7 y 140 no es libre de cuadrados pues 140=2. 2.5.7

4. Sea ABC un triángulo rectángulo y D el punto en la hipotenusa AC tal que AB=CD. Demostrar que en el triángulo ABD la bisectriz del ángulo A, la altura desde el vértice D y la mediana correspondiente al lado AD son concurrentes.

5. Determinar todas las funciones definidas sobre los números reales distintos de 0 y de 1 tales que

f(x) + f( 1/(1-x) ) = (2(1-2x)) / (x(1-x))

para x distinto de cero y uno.

6. En el polígono regular de 134 lados se trazan 67 diagonales de manera que de cada vértice salga exactamente una diagonal.
Llamaremos longitud de una diagonal a la cantidad de lados que abarca (la longitud de cada diagonal es menor o igual que 67).
Si ordenamos las longitudes de las diagonales de menor a mayor tenemos una sucesión de 67 números

d₁,d₂,d₃,... ,d₆₇

1. ¿Se pueden trazar tales diagonales para que

d₁, d₂, d₃ , ... , d₆₇ = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ... , 3  (6 veces 2, 61 veces 3) ?

2. ¿Se pueden trazar tales diagonales para que

d₁, d₂, d₃ , ... , d₆₇ = 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 6, 6, ... , 6, 8, 8, 8, 8  (8 veces 3, 55 veces 6, 4 veces 8) ?

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