12do Torneo de Computación y Matemática

Certamen Zonal

 9 de octubre de 2009

 
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Nivel 1(7mo y 8vo año de escolaridad)

1

Buscar todas las cuaternas X, Y, Z, R de números enteros positivos, todos menores que 20, tales que X2 + Y2 + Z2 = R2, y tales que X, Y, Z y R no tienen un divisor común (a todos) mayor a 1. Por ejemplo 6, 12, 9 y 18 tienen un divisor común, el 3, que es mayor a 1.

2

Encontrar un número D de seis cifras de la forma D = 23??32, que no tenga ningún divisor entre 100 y 10000.

3

En un tablero rectangular (cuadriculado) se colocan 27 monedas en cada casilla de las esquinas, 23 monedas en cada casilla que toca exactamente 1 borde del tablero y 17 monedas en las restantes casillas. Si en total hay 14740 monedas, ¿de que tamaño es el tablero?

 

Nivel 2(9no y 10mo año de escolaridad)

1

a) Buscar un X entero positivo tal que 3·X3 - 4018·X2 + 1020305·X + 229445566 < 0.

b) ¿Cuántos cumplen esta propiedad?

2

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes tienen área que divide a 20092009?

3

Muchos cuadrados formando un rectángloSi nos dan un rectángulo de lados A y B (con A > B > 0, A y B enteros), lo llenamos con cuadrados de la siguiente manera, por pasos: en el primer paso, llenamos con cuadrados de lado B, sin superponerlos, sin espacio entre ellos, empezando desde el borde izquierdo, hasta que ya no se puede más; en los siguientes pasos llenamos el rectángulo que queda libre con cuadrados cuyo lado sea igual al lado más chico del rectángulo, sin superponerlos, sin espacio entre ellos, empezando desde el borde izquierdo o inferior según corresponda; como en la figura. El proceso termina cuando llenamos todo el rectángulo AxB.

Para cada uno de los 10 rectángulos cuyos lados (distintos) son 2 de estos números,
410105312, 150869313, 832040, 514229, 2009
hallar en cada caso:

- la cantidad de cuadrados usados para llenarlo según el procedimiento anterior, y

- el lado del cuadrado más chico que se usó.

 

Nivel 3(11er año de escolaridad en adelante)

1

Entre los números enteros positivos que son múltiplos de 101 y menores que 1000000, encontrar los que tengan la mayor cantidad de divisores.

2

Las ecuaciones A3 + B3 = C3 y A4 + B4 = C4 no tienen soluciones con A, B, C enteros positivos, pero sí tienen solución con A, B, C, D, E enteros positivos las ecuaciones

(i) A3 + B3 + C3 = D3

(ii) A4 + B4 + C4 + D4 = E4

Hallar una solución de la ecuación (i) y una solución de la ecuación (ii).

Nota: en (ii) las soluciones son tales que algunos números intermedios son mayores a 232.

3

Muchos cuadrados formando un rectángloSi nos dan un rectángulo de lados A y B (con A > B > 0, A y B enteros), lo llenamos con cuadrados de la siguiente manera, por pasos: en el primer paso, llenamos con cuadrados de lado B, sin superponerlos, sin espacio entre ellos, empezando desde el borde izquierdo, hasta que ya no se puede más; en los siguientes pasos llenamos el rectángulo que queda libre con cuadrados cuyo lado sea igual al lado más chico del rectángulo, sin superponerlos, sin espacio entre ellos, empezando desde el borde izquierdo o inferior según corresponda; como en la figura. El proceso termina cuando llenamos todo el rectángulo AxB. Hallar A primo tal que cualquier rectángulo de AxB (A > B > 0, A y B enteros) se cubre con igual o más cuadrados que el rectángulo de Ax2009.


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