V Olimpíada Matemática del Cono Sur.

Uruguay. 1994

 

Primer día

1. El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

2. Se considera una circunferecia (C) de diámetro AB=1 . Se elige un punto P0 en la circunferencia, distinto de A, y a partir de P0 se construye una sucesión de puntos P1, P2, ... ,Pn, ... de la circunferencia, del modo siguiente:

Qn es el simétrico de A respecto de Pn y la recta que une B y Qn corta a la circunferencia (C) en los puntos B y Pn+1 (no necesariamente diferentes).

Demostrar que es posible elegir P0 tal que se cumplan simultáneamente:

  1. El ángulo P0AB es menor que 1

  2. En la sucesión generada a partir de P0 hay dos puntos Pk y Pj tales que el triángulo APkPj es equilátero.

3. Sea p un número real positivo dado.
Hallar el mínimo valor de x3 + y3 sabiendo que x e y son números reales positivos tales que x.y.(x+y)=p.

 

Segundo día

4. Pedro y Cecilia participan en un juego con las siguientes reglas:
Pedro elige un número entero positivo a y Cecilia le gana si encuentra un número entero positivo b, primo con a, tal que en la descomposición en factores primos de a3 + b3 aparecen por lo menos tres factores primos distintos.
Demostrar que Cecilia siempre puede ganar.

5. Determinar infinitas ternas x, y, z de enteros positivos que sean soluciones de la ecuación x2 + y2 = 2z2, tales que el máximo común divisor de x, y, z sea 1.

6. Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Sobre el lado AB se toma un punto D, de modo que CD=k, y los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ADC y CDB son iguales.
Demostrar que el área del triángulo ABC es igual a k2.

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

duty free alcohol canada duty free cigs online buy duty free cigars where to buy cosmetics wholesale buy duty free perfumes where to buy tobacco online
duty free alcohol rules duty free cigarettes usa duty free cigars online buy cosmetics online duty free perfume usa where to buy tobacco online