XX Olimpíada Matemática del Cono Sur
Mar del Plata, Buenos Aires - Argentina

Primer día (16 de abril de 2009)

1 
Los cuatro círculos de la figura determinan 10 regiones acotadas. En estas regiones se escriben 10 números enteros positivos distintos que sumen 100, un número en cada región. La suma de los números contenidos en cada círculo es igual a S (la misma para los cuatro círculos). Determinar el mayor y el menor valor posible de S.

2 
Un corchete consta de tres segmentos de longitud 1, que forman dos ángulos rectos como muestra la figura.

Se tiene un cuadrado de lado n dividido en n² cuadraditos de lado 1 mediante rectas paralelas a sus lados. Se ubican corchetes sobre dicho cuadrado de manera que cada segmento de un corchete cubra un lado de algún cuadradito. Dos segmentos de corchete no se pueden superponer.
Determinar todos los valores de n para los que es posible cubrir los lados de los n² cuadraditos.

3
Sean A, B y C tres puntos tales que B es el punto medio del segmento AC y sea P un punto tal que <PBC = 60º. Se construyen el triángulo equilátero PCQ tal que B y Q están en semiplanos diferentes con respecto a PC, y el triángulo equilátero APR tal que B y R están en el mismo semiplano con respecto a AP. Sea X el punto de intersección de las rectas BQ y PC; sea Y el punto de intersección de las rectas BR y AP. Demostrar que XY y AC son paralelos.

Segundo día (17 de abril de 2009)

4 
Ana y Beto juegan en un tablero de 11 filas y 9 columnas. Primero Ana divide el tablero en 33 zonas. Cada zona está formada por 3 casillas contiguas alineadas vertical u horizontalmente, como muestra la figura.

Luego, Beto escribe en cada casilla uno de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, de modo que la suma de los números de cada zona sea igual a 5. Beto gana si la suma de los números escritos en cada una de las 9 columnas del tablero es un número primo. En caso contrario, Ana gana. Demostrar que Beto tiene estrategia ganadora.

5 
Dada una sucesión S de 1001 números reales positivos no necesariamente distintos, y dado un conjunto A de números enteros positivos distintos, la operación permitida es: elegir un k є A, seleccionar k números de S, calcular el promedio de los k números (media aritmética) y reemplazar cada uno de los k números seleccionados por ese promedio.
Si A es un conjunto tal que para cada S se puede lograr, mediante una secuencia de operaciones permitidas, que los números sean todos iguales, determinar el menor valor posible del máximo elemento de A.

6
Pablo tiene cierta cantidad de rectángulos cuyas áreas suman 3 y cuyos lados son todos menores o iguales que 1. Demostrar que con estos rectángulos es posible cubrir un cuadrado de lado 1 de modo que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del cuadrado.
Nota: Los rectángulos se pueden superponer y pueden sobresalir del cuadrado.

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