16° Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

31 de marzo y 1 de abril de 2005

Primer día

1. Julián debe escribir los enteros desde 1 hasta 100 inclusive alrededor de una circunferencia de modo que cada uno sea mayor que sus dos vecinos o sea menor que sus dos vecinos. Un par de números adyacentes es malo si al suprimir ese par los 98 números restantes mantienen la propiedad de que cada número es mayor que sus dos vecinos o es menor que sus dos vecinos. Hallar el mínimo número de pares malos que puede tener la distribución de Julián.

ACLARACIÓN: Si ...a,b,c,d,e,f,... son enteros escritos, en ese orden, alrededor de la circunferencia, entonces, cuando se suprime el par (c,d) los nuevos vecinos de b son a y e, y los nuevos vecinos de e son b y f.

2. Dado un ángulo de 13^o, construir un ángulo de 1^o utilizando exclusivamente regla y compás.

3. Se tienen en el plano 5 rectas horizontales y 401 rectas verticales. Estas rectas determinan, al cortarse, 2005 puntos. Se colorean los 2005 puntos con uno de tres colores, rojo, azul y verde, con el siguiente procedimiento:

Primero se asigna uno de los tres colores a cada una de las 406 rectas, y luego si el punto es la intersección de dos rectas de igual color, se lo pinta de ese color, y si el punto es intersección de dos rectas de distinto color, se lo pinta del tercer color (el que es distinto de los que tienen las rectas que lo determinan). Finalmente se borran las rectas, dejando solamente los 2005 puntos coloreados. Calcular el número de coloraciones distintas del conjunto de 2005 puntos que se puede obtener con este procedimiento.

Segundo día
 

4. Hallar los enteros positivos x que satisfacen la siguiente ecuación

.

(Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.)

5. Sea ABCD un cuadrado. Una recta t corta al lado BC en K (K≠B y K≠C), a la diagonal AC en L y a la prolongación del lado BA en M, de modo que KL=DL. Calcular la medida del ángulo .

6. Consideramos los pares (a,b) donde a y b son enteros positivos. Las operaciones permitidas son

(a,b)~(a,2b);

(a,b)~ (2a,b);

(a,b)~ (a-b,b) si a>b;

(a,b)~ (a,b-a) si a<b.

Determinar si a partir de (1,1), mediante alguna secuencia de operaciones permitidas, se puede obtener

a) el par (2005,2010);

b) el par (2004,2006).

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