X Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

15 y 16 de Abril de 1999

1

En un reino hay 12 ciudades. Entre ciertos pares de ciudades se crean enlaces de ida y vuelta de ómnibus, tren o avión. Hallar la menor cantidad de enlaces necesaria para que, si hay un paro de uno cualquiera de los tres medios de transporte, igual sea posible viajar desde cada ciudad a todas las demás ciudades.

2

El triángulo ABC tiene <C = 120° y el lado AC mayor que el lado BC. Sabiendo que el área del triángulo equilátero de lado AB es 31 y el área del triángulo equilátero de lado AC - BC es 19, hallar el área del triángulo ABC.

3

Se eligen cinco números naturales distintos, a, b, c, d, e, ordenados de menor a mayor: 1 a < b < c < d < e. Luego se calcula el mínimo común múltiplo de cada número con el siguiente:

mcm(a, b); mcm(b, c); mcm(c, d); mcm(d, e);

y finalmente, se efectúa la suma de sus inversos

¿Cuál es el máximo valor que puede tener el resultado final S?

4

En el cuadrado ABCD, sean P en el lado AB tal que AP² = BP . BC y M el punto medio de BP.
Si N es el punto interior del cuadrado tal que AP = PN y MN es paralelo a BC, calcular la medida del ángulo <BAN.

5

Dado un número natural n > 1, definimos las siguientes dos operaciones.

Operación 1:
Se calcula la parte entera de cada una de las n fracciones n / 1 , n / 2 , ... , n / n , y luego se suman:

[n / 1] + [n / 2] + ... + [n / n].

Operación 2:
Se calcula la parte entera de cada una de las n - 1 fracciones (n-1)/1 , (n-1)/2 , ... , (n-1)/(n-1) , luego se suman y se añade 2 al resultado:

2 + [(n - 1) / 1] + [(n - 1) / 2] + ... + [(n - 1) / (n - 1)].

Determinar todos los valores de n para los que el resultado de la operación 1 es igual al resultado de la operación 2.

ACLARACION: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran, por ejemplo,
[18 / 1] = 18; [18 / 2] = 9; [18 / 4] = 4; [18 / 13] = 1; etc.

6

Sean m 2, n 2 números enteros. Se desea colorear las casillas de un tablero de m x n con blanco y negro de modo tal que cada casilla tenga exactamente dos vecinas del otro color. Determinar todos los valores de m y n para los cuales es posible hacer tal coloración.

ACLARACION: Casillas vecinas son las que tienen un lado común.

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