4ta Competencia de Clubes Cabri

Segunda ronda

1er nivel

1. Dado un triángulo isósceles ABC con AB = BC y <ABC = 60°. Sea D en AB tal que <DCA = 30°. Sea E en BC tal que <EAC = 40°. Sea P la intersección entre DC y AE. Hallar la medida de <BPE.

2. Dado un triángulo ABC se trazan circunferencias C1 y C2 que pasan por B y por C e intersecan a los lados AB y AC en B’, C’ (C1) y B’’, C’’ (C2). Demostrar que BC’ y B’’C’’ son paralelos.

3. Dado un triángulo ABC

  1. Construir un paralelogramo DEFG con E en AB, D en AC y FG incluido en BC de manera que BC / FG = 3.
  2. Hallar el lugar geométrico de los centros de los paralelogramos DEFG, del ítem anterior.

4. Dado un triángulo acutángulo ABC, sea I su incentro. Sea D el pie de la perpendicular desde I a BC, E el pie de la perpendicular desde I a AC y F el pie de la perpendicular desde I a AB. Se trazan las circunferencias de diametros DI,EI y FI.

  1. Demostrar que dichas circunferencias se intersecan dos a dos en puntos (distintos de I) pertenecientes a las bisectrices de ABC.
  2. Demostrar que el triángulo formado por dichas intersecciones es semejante al triángulo DEF y hallar la razón de semejanza.

2do Nivel

5. Dado un triángulo ABC, construir un punto P en su interior tal que los ángulos PAY1, PBY2 y PCY3 miden lo mismo, donde Y1, Y2, Y3 son A, B o C.

6. Dada una circunferencia C y un punto D fijo en ella sea E y F en C tales que EF =  2 DE. Sea P el punto medio de FD. Hallar el lugar geométrico de P al variar E en C.

7. Dado un paralelogramo ABCD. Sea A’ el simétrico de A con respecto a DC, sea B’ el simétrico de B con respecto a AD, sea C’ el simétrico de C con respecto a BA y sea D’ el simétrico de D con respecto a CB. Probar que ABCD’ es un paralelogramo.

8. Dado un pentágono convexo ABCDE, construir un pentágono convexo cuyos lados midan lo mismo que AC, BD, CE, DA y EB.

[ 4ta Competencia  - Ronda final ]

 


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