XXII Jornadas de Resolución de Problemas
Mar del Plata. 16 al 20 de noviembre de 1998

 

El Seminario Internacional se desarrolló con toda satisfacción, tal como estaba previsto, con la participación de alrededor de 400 profesores de enseñanza media y alumnos del profesorado y licenciatura en matemáticas de nuestro país y paises de América como Brasil, México, Uruguay y Perú.

El programa de seminarios está disponible en http://www.oma.org.ar/actividades/seminario_internacional98pro.htm.

Presentamos aquí algunos extractos del Seminario de Claudi Alsina, "Matemática para ciudadanos", y de su conferencia "Hacer menos... para hacer más: un reto matemático llamado futuro", extraemos su "Carta abierta a un futuro bebé".

 

Matemática para ciudadanos

Reflexiones iniciales:

"... la adquisición de habilidades matemáticas precisa de dedicación y trabajo duro. Por tanto requiewre motivación... para tener un sentido matemático general no se requiere nada más que interés... el objetivo de la educación matemática debe ser producir ciudadanos educados y no una pobre imitación de una calculadora de $30... como más formas tengamos de conocer nuestro mundo y a nosotros mismos, nuestras vidas estarán más enriquecidas, por esto debemos copncentrar nuestro esfuerzo en dar un gran panorama general de las matemáticas..."

Keith Devlin, 1997

"No olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos históricos de su evolución... preentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social..."

Pedro Puig Adam, 1995

Temas de reflexión:

De este último tema presentamos algunas partes:

 

Problemas de matemática electoral:

Métodos de elección:

Siguiendo (Steen, 1994) resumiremos algunos métodos matemáticos de elección entre varios candidatos (o alternativas) C1, C2, ..., Cn.

Método de pluralidad. Cada votante dá un voto al candidato preferido y el que obtiene mayor cantidad de votos es declarado vencedor.

Método secuencial de mayorías. Cada votante dá su voto al candidato preferido y gana el que obtiene más de la mitad más uno de los votos. Si ello no se da, en una segunda ronda donde concurren los dós candidatos más votados se busca de nuevo quien alcance la mayoría.

Método secuencial eliminatorio. Cada votante da su voto al candidato preferido y en la primera ronda se elimina el menos votado, en la segunda el menos, etc., hasta llegar al candidato "ideal".

Método de Borda. Cada votante emite listas preferenciales de candidatos (ordenados) y a partir de dichas listas se dan a cada candidato tantos puntos (pesos) como candidatos quedan por debajo de el en las listas (o pesos según número ordinal en las listas) y así se suman ponderalmente los votos recibidos.

Método de Concorcet. Cada candidato es comparado con cualquier otro mirando con cuantos ha superado el otro en las listas de preferencias.

  1. Considere la siguiente votación (Malkevich) emitida por 55 votantes sobre 5 candidatos C1, C2, C3, C4, C5:

C1

C4

C5

C3

C2

C2

C5

C4

C3

C1

C3

C2

C5

C4

C1

C4

C3

C5

C2

C1

C5

C2

C4

C3

C1

C5

C3

C4

C2

C1

Votos: 18 12 10 9 4 2

Aplique los cinco métodos para designar en cada caso el ganador. Compare ventajas e inconvenientes entre estos métodos.

Un método por escanios políticos por simple proporcionalidad

Si V1, V2, ..., Vn son los votos obtenidos por n partidos que deben ocupar e escaños parlamentarios, calcúlese (sumatoria de i=1 a n de V_i) / e para saber el número de votos por escaño y a continuación asígnese a cada partido el número de escaños que le toca redondeando por exceso los restos mayores.

  1. Aplique a esta distribución a repartir 6 escaños entre tres partidos que obtuvieron respectivamente 103.400 votos, 248.000 votos y 52.080 votos.

Un método de escaños políticos por sucesión de divisores

Sean V1 >= V2 >= ... >= Vn los votos (ordenados) de n partidos que deben repartirse e escaños. Fíjese una sucesión 0 < d1 < d2 < ... < d e y divídase cada Vi por los e números (Vi/d1, Vi/d2, ..., Vi/de). Forme así una matriz con las n filas y e columnas de las divisiones y márqunse las e cantidades mayores den esta matriz. Asígnense tantos escaños a cada partido como números mayores aparecen en cada fila correspondiente.

Son usuales las sucesiones:

Imperiali: 2, 3, 4, 5, 6, ...
D'Hondt: 1, 2, 3, 4, 5, ...
St-Lagüe I: 1, 3, 5, 7, 9, ...
St-Lagüe II: 1, 4, 3, 5, 7, 9, ...
Danés: 1, 4, 7, 10, 13, ...

  1. Se tienen que repartir 9 escaños entre 5 partidos que han obtenido 700.000 votos, 500.000 votos, 400.000 votos, 200.000 votos, 30.000 votos. Proponga distintas situaciones usando diferentes sucesiones y compare resultados.

Método de votaciones ponderadas.

Considere una situación con n votantes v1, v2, ..., vn cada uno de los cuales puede emitir p(v1), p(v2), ..., p(vN) votos sobre un asunto y sea c la cuota de votos necesarios para aprobar el asunto. Por ejemplo Vi puede ser un partido político, p(Vi) los parlamentarios de dicho partido y c los votos necesarios para elegir un presidente. Por ejemplo c puede ser el 51% de los votos y v1, v2, v3 tres accionistas que poseen el 49%, 48% y 3% de las acciones.
El índice de poder de Banzhaf de un votante vi es el número de las distintas coaliciones que ganarían al juntarse con vi más el número de distintos bloques de coaliciones que ganarían con vi.
El índice de poder de Shapley-Shubik de un votante vi es la relación entre el número de permutaciones entre v1, v2, ..., vn en donde la presencia de vi es decisiva y el número total de permutaciones posibles. Se anotan junto a cada posible permutación el peso del primer votante, el peso de los dos primeros, etc. y se marca cuando aparece el número que supera la nota q indicándose entonces el votante que resulta esencial (pivot). El índice divide los casos donde se es pivot por n!.

 

"Hacer menos... para hacer más: un reto matemático llamado futuro"

De esta conferencia de Claudi Alsina, extraemos su...

"Carta abierta a un futuro bebé"

  Querido/da,

Sabemos que estás en camino preparándote físicamente para una larga vida en nuestro planeta. Tu familia espera con ilusión tu llegada y todos te deseamos una vida feliz con nosotros. En tu casa te están preparando ropa y comida, y muebles, y osos de peluche… La humanidad hace años que te ha preparado un mundo que poco a poco irás descubriendo. Deseamos que allá donde vivas sea, para tí, el mejor de los lugares posibles.

Los que te escribimos esta carta somos personas enamoradas de la matemática y de su enseñanza.

¡Si! Has oído bien, matemáticas. Una cosa bellísima que poco a poco irás encontrando. Unos números dispuestos a competir con tus hadas y gigantes, unas figuras que pondrán a prueba tus manos inocentes y tus ojos, unas formas de cuantificar y ver el mundo que desean acompañarte en tu niñez, tu adolescencia, tu juventud y desearían permanecer contigo durante toda tu madurez. ¿Extraño verdad?

Te hemos preparado escuelas, clases, patios, libros, museos, juegos, películas, cuentos, teoremas,… porque nos gustaría poder guiar tu aprendizaje. Y tener el privilegio de proyectar en tí lo mejor de todos nosotros. Todos hemos comenzado y preparado para tí un repertorio de saberes que desearíamos transmitirte y compartir contigo.

Con tus inmensos ojos abiertos serás testimonio de nuestras pequeñas debilidades, de nuestras evaluaciones que te darán algún que otro disgusto,… verás como nos obstinamos en que te gusten las matemáticas como a nosotros y en que las uses para hacer fácil la vida que te espera.

Te hemos preparado acertijos, cálculos, viejos resultados, rápidas calculadoras, cosas novedosas, aplicaciones curiosas,… pero tú has de ser, por encima de todo, el resultado de tu propia formación. Haz tuyo aquello que te guste, quédate con lo que para tí puede ser bueno… Y házlo desde tu libertad.

Nuestra mejor paga, que es casi la única, es tu progreso, tu alegría, tus preguntas, tu estima y, por favor,… tus sonrisas. Nos gustará verte en las olimpíadas matemáticas, demostrando tus ansias de ser mejor y de compartir con los demás tus triunfos y tus errores, tus afirmaciones y tus dudas. Esta es nuestra pequeña gran recompensa. Y que luego este legado de entusiasmo matemático te ayude a triunfar como persona.

Aquí desde el Mar del Plata tus abuelitos y abuelitas matemáticas del siglo XX miran con interés tu aterrizaje en la Argentina del siglo XXI.

Perdona si no sabemos anticiparte lo que el progreso pondrá en tu camino. Algún día tú también te reirás de nosotros mirando un viejo álbum de fotografías y viendo nuestros dedos llenos de yeso, nuestras pizarras, nuestros problemas escritos en papel y nuestras conferencias. ¡Hazlo! ¡Tienes obligación! Nosotros también nos hemos reído de los viejos tinteros y pupitres, de las figuras de madera y de los mapas colgando en las paredes. Tú, y cada uno no de nosotros, tenemos la obligación histórica de superar el pasado, asumir el presente y preparar el relevo para el futuro.

Este siglo XXI, el tuyo, debe ser para tí la vida y el amor, y la alegría y la pena, y el eslabón hacia el otro siglo. ¡Hazlo mejor! ¡Supéranos!

Ésta será nuestra mejor herencia. Sólo te pedimos que guardes en un rincón de tu corazón un pequeño lugar para los que quisimos desde un profundo amor por las matemáticas, intentar forjar tu preparación para la vida. ¡Hasta pronto! Te esperamos. ¡Buen viaje!

Claudi Alsina

 


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